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1 Vorwort

Im ZUSEUM, Taucherstraße 14, 02625 Bautzen ist der ZUSEUM e.V. daheim. Hier werden Kinder und Jugendliche in der Freizeit mit technischen und praktischen Arbeiten konfrontiert: Keramik, Fotozirkel, Elektronik, KFZ, Holzbearbeitung, Schmieden, Eisenbahn.

Hier können sich aber auch Schulklassen in mindestens zwei Unterrichtsstunden über Urahnen von Rechenhilfsmitteln und Rechenmethoden informieren, selbst gestalten und auch damit arbeiten. Der Bogen geht vom Abakus bis hin zur heutigen Rechentechnik.

2 Abakus

2.1 Geschichte

• Noch heute in östlichen und fernöstlichen Ländern verbreiteter Holzrahmen mit Stäben und Kugeln darauf
• Genauer Ursprung ist nicht festzustellen, da schon Jahrtausende in unterschiedlichen Formen gebräuchlich
• Wahrscheinlich abgeleitet aus phänizianischen abak : Auf eine Fläche gestreuter Sand zum Schreiben
• Angeblich kommt der A. aus Madagaskar: Dort diente er zum Abzählen von Soldaten, die durch einen schmalen Durchgang traten. Für jeden einzelnen Soldaten wurde ein Kieselstein in eine Kerbe im Boden gelegt. Hatten sich zehn Kieselsteine (zehn Soldaten) in der Kerbe angesammelt, wurden sie durch einen anders farbigen Kieselstein in der „Zehnerkerbe“ ersetzt. Für hundert Soldaten wurden die zehn Kiesel aus der „Zehnerfurche“ durch einen Kiesel in der „Hunderterfurche“ ausgetauscht. Es ist überliefert, dass die Kerben im Boden durch Stäbe und die Kiesel durch Kugeln mit Löchern ersetzt wurden
• Zentralasien wäre auch möglich
• Trotz unterschiedlicher Formen je nach Herkunft, ist das Funktionsprinzip gleich
• In Europa erstmalig in der Blütezeit der Römer
• Durch die Kreuzzüge im Mittelalter zwischen 1095 und 1270 n. Chr. kamen die arabischen Methoden des Rechnens nach Europa. Es entfachte ein Streit zwischen den Vertretern der neuen arabischen Rechenmethode und den Anhängern der alt eingesessenen Rechenmethode des Rechenbretts (eine Tafel, auf der Rechenmarken verschoben wurden)
• Die Kirche besaß im Mittelalter einen enormen Einfluss auf Philosophie und Wissenschaften und erklärte die arabische Methode als „Teufelszeug“
• Bis ins 18. Jh. war es üblich, im Finanzwesen einen Abakus zu verwenden. Erst mit der französischen Revolution 1789 wurde er in Schulen und Verwaltungen verboten, da man mit dem arabischen Zahlensystem (schriftlich) unabhängig vom Abakus sei

Das ist der Grund, warum eine Weiterentwicklung in Europa verhindert wurde.

Eine entgegengesetzte Entwicklung fand in China statt, da man dort von einem schriftlichen System des Rechnens zum Abakus überging. Dieser löste ein umständliches System aus vertikalen und horizontalen Strichen zwischen 1368 bis 1646 ab. Dabei entwickelte sich aus dem chinesischen Abakus (Suan Pan, zwei Fünf- und fünf Ein-Zähler-Kugeln pro Stab) der japanische Abakus (Soroban, ein Fünf- und fünf Ein-Zähler-Kugeln pro Stab). Bei der Revolution 1868 wurde der chinesische Abakus vollständig aus Japan verbannt. Ab 1940 löste der neue japanische Abakus (ein Fünf- und vier Ein-Zühler-Kugeln) die ältere Version ab. Der Abakus findet bis heute noch Anwendung im asiatischen Bereich.

2.2 Arten

STSCHOTY (Russischer Abakus):

• Meist 10 waagerechte Stäbe
• An jedem Stab 10 Kugeln
• Fünfte und sechste Kugel farblich anders Übersichtlichkeit)
• Ein Stab mit nur 4 Kugeln
• Darstellung „825“

SUAN PAN (Chinesischer Abakus):

• Senkrechte Stäbe, durch Stab geteilt
• Oben je 2 Kugeln – Wert ,5′
• Unten je 5 Kugeln – Wert ,1′
• 0-Stellung: oberer bzw. unterer Rand
• Darstellung „825“

SOROBAN (Japanischer Abakus):

• Wie Suan Pan -> Weiterentwicklung
• Oben je 1 Kugeln – Wert ,5′
• Unten je 5 oder 4 Kugeln – Wert ,1′
• 5er Bündelung mit minimalem Aufwand
• Darstellung „825“

http://www.benjaminwrightson.de/abakus/homepage.htm
Vorlage von Alexa Jarosch, Klasse 12, 2008

2.3 STSCHOTY

Allgemeines:

Für die Darstellung der Perlenpositionen sowohl Verschiebungen sind die Farben zu beachten. Schwarz sind im ersten, bzw. Ausgangsschritt zu betrachtende Zahlperlen. Grau sind die übrigen. Wenn graue neben schwarzen stehen, so wurden die nach links verschoben (Der Zahlmenge zugefügt) Stehen schwarze neben grauen im rechten Bereich, so wurden die der Ausgangsmenge abgezogen.
Es sind jeweils 10 Perlen pro Reihe. Jede Reihe steht für eine der Zehnerpotenz, beginnend von unten mit 10^0, darüber 10^1, 10^2 und so weiter nach oben hin. Oft gibt es aber in dieser Abakusausführung noch 10^-1 und 10^-2 Potenzen, um die Darstellung von Dezimalbrüchen zu ermöglichen und die Überschaubarkeit zu erleichtern.

Darstellung der Zahl 825:

Zerlegung in 8*10^2, 2*10^1 und 5*10^0, also 800, 20 und 5. Wenn jetzt in jeweiligen reihen richtige Perlenmenge nach links verschoben wird, entsteht folgendes Abbild

2.3.1 Addition

Beispiel: 26+12

Zuerst müssen wir die Zahl 26 darstellen. Hierfür schieben wir 6 Perlen in der 10^0- Reihe (entweder die unterste oder die über der Reihe mit weniger Perlen, die das Koma darstellen) nach links für 6 und 2 in der Reihe darüber für 20.
Nun wird die 12 addiert. 12 selbst ist dabei ebenso auf 2 für 2 und 1 für 10 zerlegbar. Wir fangen von unten an und schieben 2 Perlen zu den 6 vorhandenen und haben somit 8. Dann schieben wir auch die eine Perle, die für 10 in der 12 steht, zu den 2 bereits vorhandenen Perlen der 26. Nun können wir das Ergebnis ablesen: 3*10 + 8*1 = 38

Beispiel: 6+8

Was machen wir, wenn z.B. 6 und 8 addiert werden sollen? Wir haben nur 10 Perlen pro Reihe. Hier greift man auf eine Hilfsrechnung zurück, die für die gesamte Abakus-Rechnerei wichtig ist. Die 8 denkt man sich mit 10 – 2. Das heißt, man fügt eine Perle in der Reihe darüber hinzu, und zieht 2 wieder ab in der Reihe darunter.

Beispiel: 2467 + 184

Anfangs wird wieder die Zahl 2467 nach üblichem Muster dargestellt. 2467 = 71 + 610 + 4100 + 21000.

Folgendes entsteht:

Jetzt fangen wir von unten an. Zuerst wird 4 dazugezählt.7+4 ist aber mehr als 10, also 4 = 10 – 6. In der 10^1 Reihe eine Perle dazuzählen und in der einser-Reihe 6 abziehen.
Nun gehen wir hoch zu 8. Wir haben nicht mehr 6 sondern 7 Perlen in der 10^1 Reihe. Mit 8 = 10 – 2 ziehen wir 2 Perlen ab und tun in der oberen Reihe eine dazu. Der letzte Schritt ist einfach, nur eine Perle für 100 = 1*100

dazuschieben.

Das Ergebnis lautet: 2651

2.3.2 Subtraktion

Beispiel: 84 – 17

Eingabe der 84: 4 Perlen in Einer-Reihe und 8 Perlen in Zehner-Reihe. Nun müssen wir wieder von unten anfangen und 7 abziehen, haben aber nur 4 Perlen da. Lösung wie bei der Addition: -7 = -10 + 3 also ziehen wir in der Reihe darüber eine Perle ab und tun in der Einer-Reihe 3 dazu. 10 zu subtrahieren ist erst recht kein Problem, einfach 1 Perle in Zehnerreihe zurücksetzen.

Zahl: 67

3. Rechenstäbchen

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3.1 John Napier und seine Stäbchen

John Napier – wichtige Lebensdaten

• 1550: Geburt in Merchiston Castle bei Edinburgh
• Trug als schottischer Edelmann den Titel Laird of Merchiston
• Napier (auch Neper) erfand unabhängig von Bürgi die Logarithmen
• Er berechnete eine 7stellige Tafel zur Basis von etwa 1/e
• Einigte sich mit H. Briggs auf die dekadischen Logarithmen
• 1614 veröffentlichte seine Logarithmen unter dem Titel
  „Mirifici logarithmorum canonis descriptio“
• die nach ihm benannten „…Napierschen Regeln für das schiefwinklige sphärische Dreieck werden in ‚Constructio‘ 1619 unvollkommen mitgeteilt.“
• 1617 erschien sein Buch „Rabdologia“; hier beschreibt Napier seine Erkenntnisse und stellte den Umgang mit seinen Rechenstäbchen vor
• Am 3.4.1617 Napier starb in Merchiston Castle

Ihm zu Ehren wurde die Maßeinheit der Dämpfung bei elektrischen und akustischen Schwingungen Neper genannt.

Bedeutung der Logarithmen

Mit der Erfindung der Logarithmen konnte man eine Multiplikation auf die Addition, die Division auf eine Subtraktion und das Potenzieren auf eine Multiplikation zurückführen. Doch für das Logarithmieren mussten zunächst umfangreiche Rechentafeln erstellt werden und dafür war es notwendig, viele Multiplikationen auszuführen. John Napier untersuchte deshalb den Multiplikationsalgorithmus genauer und stellte Interessantes fest: jede Multiplikation ist zurückzuführen auf das kleine Einmaleis und dies ist wieder zurückzuführen auf die Addition. Das Ergebnis seiner Überlegungen waren die Rechenstäbchen.

Historisches

Durch geographischen Entdeckungen im Mittelalter nahm der Handel enormen Aufschwung. Die Ausbeutung der Kolonien belebte die Wirtschaft Europas in ungeahnten Maße. Dies hatte Auswirkungen auf die Mathematik. Bisherig Rechenmethoden genügten nicht mehr: zu schwerfällig, zu ungenau, zu langsam. Der praktische Handabakus der Römer war in Vergessenheit geraten. Seefahrer, Kaufleute, Wissenschaftler aller Disziplinen und Landvermesser brauchten nun Rechenverfahren, die Zeit ersparten, sich leicht anwenden ließen und präzise Resultate lieferten.

3.1.1 Multiplikation

Die Multiplikation mit einer einstelligen Zahl

Die Multiplikation erfolgt nach dem eben beschriebenem Prinzip. Um eine Zahl mit einer beliebigen Ziffernfolge mit einer Zahl zwischen 1 und 9 zu multiplizieren, wird die veränderte Rechentafel in Spalten zerschnitten und auf Stäbchen geklebt. So erhält man die von Napier entwickelten Napierstäbchen.
Zur Multiplikation zweier Zahlen wird der mehrstellige Faktor aus den Napierstäbchen gebildet und dann aus der Spalte, die der zweite Faktor angibt, das Ergebnis nach oben beschriebenen Prinzip ermittelt.

Beispiel: 78196 * 4 = 312784

Die Multiplikation mit einer mehrstelligen Zahl (einfache Variante)

Ist hingegen der zweite Faktor nicht nur einstellig, sondern ebenfalls mehrstellig, wie z. B. bei dem Produkt 973018 * 9758, so bestimmt man nacheinander die Produkte von 973018 und 8, 5, 7 bzw. 9 und addiert sie schriftlich, wie bei der gewöhnlichen Multiplikation.

Diese Rechnung ist zugegebenermaßen nicht so elegant wie die vorher beschriebene Art, aber immer noch kürzer als die gewöhnliche Multiplikation.

4 Adam Ries

Adam Ries – wichtige Lebensdaten

4.1 Rechnen auf der Linie

Aufbau

• mindestens vier waagerechte Linien, wobei diese von unten nach oben die Wertigkeit 1, 10, 100 und 1000 haben (auf der Tausenderlinie ein Kreuz)
• Bereiche zwischen den Linien tragen die Bezeichnung „spacium“ bzw. „spacio“ und besitzen die Wertigkeit 5, 50 und 500. Zwei senkrechte Linien teilen Rechenbrett in sog. „bancire“ zur Abgrenzung von Zahlen dienen

Auslegen einer Zahl (Numeratio)

• Darstellung der Zahl durch Rechenpfennige
• zwei Rechenpfennige auf der Einerlinie bedeuten die Zahl 2
• liegen die beiden Pfennige auf der Zehnerlinie, so stellen sie die Zahl 20 dar
• zusätzlich ein Rechenstein im 500er spacium gelegt, so erhält man die Zahl 520

4.2 Rechenregeln

Elevatio ist das Erhöhen von Rechensteinen (Bündeln)

Erhöhung aus einer Linie

Liegen fünf rechenpfennig auff einer Linien, so hebe die auff/ leg eine in das spacium darüber…“

Erhöhung aus einem Spacio „Hastu aber zwen pfennig in einem spacio, so heb die auff und leg einen auff die linie darüber“.

Resolvatio ist die Aufbündlung von Rechensteinen

Aufbündelung aus einer Linie

„Heb ihn auf / leg einen in das nechst spacium darunder und 5 auff die linie under dem spacio“

Aufbündelung aus einem Spacio

„Liegt aber ein pfennig in einem spacio … so leg dafür 5 pfennig auff die linien darunter“

4.2.1 Addition

Die Addition zweier Zahlen läuft in vier Schritten ab und wird am Beispiel der Addition von 194 und 76 gezeigt.

Auflegen der beiden Zahlen in die beiden ersten Bankiere

2. Addieren

Zusammenschieben der Rechenpfennige in das dritte Bankier

3. Elevatio
Höherlegen eines Rechenpfennigs, sobald 5 auf einer Linie
oder 2 in einem Spacio liegen

4. Ergebnis ablesen

194 + 76 = 270

5. Wilhelm Schickard

Wer war Wilhelm Schickard

Wilhelm Schickard wurde am 22. April 1592 in Herrenberg geboren. Er besuchte die Lateinschule in Herrenberg, das fürstliche Alumnat in Bebenhausen und kam dann in das theologische Stift Tübingen – der übliche Bildungsweg für einen Theologen. Bereits im Jahr 1614, mit 22 Jahren, war er Diakon in Nürtingen.

Neben den kirchlichen Pflichten beschäftigte er sich intensiv mit alten Sprachen, Astronomie und Mathematik. Im Jahr 1617 begann eine lang währende Freundschaft mit dem zwanzig Jahre älteren, in Linz lehrenden Johannes Kepler. Dieser lobte Schickards sowohl wissenschaftliche als auch praktische Fähigkeiten und nannte ihn einen „Beidhändigen Philosophen „.

Der württembergische Herzog Friedrich setzte sich 1619 für eine Professur Schickards an der Universität Tübingen für Hebräisch ein. Im Jahr 1631 wurde ihm auch die Professur für Mathematik (Astronomie) übertragen. In dieser Zeit erbrachte er spektakuläre technische und wissenschaftliche Leistungen. Er erdachte Modelle, die er in detaillierten Schriften und Skizzen festhielt. Von ihm stammen Betrachtungen zur hebräischen Grammatik ebenso wie Kartographische Landesaufnahmen zur Vermessung Württembergs. Er konstruierte neben dem Handplanetarium auch die Rechenstäbchen und die berühmte „Rechenuhr“.

Besonderheit ist der automatische Zehnerübertrag. Multiplikation und Division waren jedoch nur unter der tätigen Mithilfe des Benutzers möglich. Bei der Multiplikation etwa musste der Benutzer die Teilprodukte mit Hilfe von Neperschen Rechenstäben bestimmen und diese dann in das sechsstellige Summierwerk zum Addieren eingeben.

Das einzig vollendete Exemplar ging in den Wirren des Dreißigjährigen Krieges verschollen, eine zweite Ausführung, die Schickard für seinen Freund Johannes Kepler zur Berechnung der komplizierten Planetenbahnen in Auftrag gegeben hatte, wurde bei einem Brand vernichtet. Anhand von Zeichnungen und Beschreibungen aus den Nachlässen Schickards und Keplers rekonstruierte der Tübinger Professor B. v. Freytag-Löringhoff in den Jahren 1957 bis 1960 die Schickardsche „Rechenuhr“ und stellte ihre Funktionstächtigkeit unter Beweis.

Während des Dreißigjährigen Krieges hatten die kaiserlichen Truppen die Pest nach Tübingen und Herrenberg mitgebracht. Wilhelm Schickards Frau und drei seiner Töchter starben an dieser Seuche. Am 24. Oktober 1635 erlag auch er, erst 43 Jahre alt, zusammen mit seinem neunjährigen Sohn dieser Krankheit.

5.1 Handhabung der Rechenmaschine

5.1.1 Addition

Beispiel: 27+49=76

1. Rechenmaschine wird auf 0-Stellung gebracht

(alle Schieber auf links; alle Fenster auf 0)

2. Man verwendet nur das Addierwerk.

3. Zuerst gibt man den 1. Summand(27) ein: Die 7 wird mit dem Rad für die Einerstelle(rechtes Rad) nach rechts eingedreht. Danach wird die 2 mit dem Rad für die Zehnerstelle(nächstes Rad) wieder nach rechts eingedreht.

4. Danach ist die 27 im Fenster sichtbar. Die analoge Eingabe der 27 als Gedächtnisstütze in den Speicher direkt darunter ist möglich

5. Danach wird der 2. Summand(49) eingegeben: Das Rad für die Einerstelle wird neunmal nach rechts gedreht und das Rad für die Zehnerstelle viermal nach rechts gedreht.

6. Die Eingabe der 49 in den Speicher ist durch entsprechendes Drehen der notwendigen Bedienknöpfe mglich.

Im Fenster erscheint die Summe: 76

Wissenstest: